Как сделать треугольник паскаля в excel?

Теория вероятностей (стр. 3 )

Раздел 8.1. Перестановки. Факториал.

Комбинаторика – раздел математики, посвящённый задачам выбора и расположения предметов из различных множеств. Типичной задачей комбинаторики является задача перечисления комбинаций, составленных из нескольких предметов.

Подсчитаем, сколькими способами можно построить трёх человек в шеренгу?

На первое место – любого из трёх, на второе – любого из двух, на третье – одного. Первого можно выбирать 3 способами, 2 – двумя, 3 – одним. Т. о. получим 3*2*1=6 способов перестановки 3 человек.

АБВ, БВА, ВАБ, АВБ, БАВ, ВБА (А-Андрей, Б — Борис, В — Владимир), если людей, например, 8, то из них можно составит 8*7*6*5*4*3*2*1=40320 перестановок. Обобщая полученные результаты, можно вывести формулу для N предметов

Перестановкой из n предметов наз. любой способ нумерации этих предметов (способ их расположения в ряд).

Число перестановок n предметов равно n!.

=ФАКТР(число) – возвращает факториал числа;

Раздел 8.2 Сочетания.

Определение. Если есть n предметов, то число способов, которыми можно выбрать ровно k из них, называется число сочетаний из n по k, и обозначается

= ЧИСЛКОМБ(n, k) – возвращает число сочетаний и относится к математическим функциям;

Пример 1. Сколькими способами можно выбрать стартовую шестёрку в волейбольном матче, если в команде заявлено 10 игроков?

Глава 9. Испытания Бернулли.

Раздел 9.1. Успех и неудача.

Испытанием Бернулли называют случайный опыт, который может закончиться одним из двух элементарных событий. Например, подброшенная монета падает либо орлом, либо решкой вверх. Стрелок может попасть в мишень, а может и промахнуться.

Одно из двух элементарных событий в таких опытах условно называют успехом, а другой – неудачей.

Вероятность того, что опыт закончится успехом, обычно обозначают буквой р. Вероятность неудачи обозначается q. Числа p и q положительные, при этом p+q=1

Если проводится несколько одинаковых и независимых испытаний Бернулли подряд, то говорят, что проведена серия или последовательность испытаний Бернулли. Серия испытаний Бернулли также является случайным экспериментом.

Пример 1. Бросание симметричной монеты. Успехом в этом опыте назовём выпадение орла, а неудачей – выпадение решки. Т. к. монета симметричная, вероятности одинаковы: p=1/2 и q=1/2. Когда мы проводим серию из 3-х бросаний монеты, то вероятность каждого элементарного события равна 1/8. Вычислим, например, вероятность элементарного события, в котором последовательно появились орёл, решко и орёл.(успех, удача и успех). Вероятность этого элементарного события p2*q=(1/2)2*1/2=1/8/ такой же результат получится для любого другого элементарного события.

Рассуждая таким же образом в общем случае, можно утверждать, что при проведении серии из n независимых испытаний Бернулли одно элементарное событие с k успехами имеет вероятность

Мы также знаем, что число таких элементарных событий с k успехами равно

Эта формула даёт вероятность того, что в серии из n испытаний Бернулли наступило ровно k успехов, причём в произвольной форме. Рассмотрим примеры.

Пример 1. Предположим, что стреляем в мишень с вероятностью попадания 1/3. Всего произведено 7 выстрелов. Какова вероятность попасть в мишень ровно 3 раза?

Этот опыт – серия из 7 испытаний Бернулли с вероятностью успеха р=1/3 и вероятностью неудачи q =1-1/3=2/3. Пусть событие А состоит в том, что в этой серии наступило ровно 3 успеха – попадания. Мы знаем, что событию А благоприятствует

элементарных событий. Мы знаем вероятность наступления каждого такого элементарного события: p3q4=(1/3)3*(2/4)4=16/2187

Умножая полученную вероятность на число благоприятных событий, мы найдём вероятность события А:

Решим эту задачу с помощью функции Excel БИНОМРАСП(k,n,p, ЛОЖЬ), где k – количество появления события, n – число независимых испытаний, p – вероятность появления события, «ЛОЖЬ» — указание на то, что определяется вероятность появления ровно k событий. В случае, когда последний аргумент функции равен «ИСТИНА», функция возвращает вероятность того, что в n испытаниях событие наступит не менее k раз.

Треугольник Паскаля.

Треугольник Паскаля — арифметический треугольник, образованный биномиальными коэффициентами.

Если очертить треугольник Паскаля, то получится равнобедренный треугольник. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел.

Как сделать треугольник паскаля в excel?


Основная формула

Строки треугольника обычно нумеруются, начиная со строки n = 0 в верхней части. Записи в каждой строке целочисленные и нумеруются слева, начиная с k = 0, обычно располагаются в шахматном порядке относительно чисел в соседних строчках. Построить фигуру можно следующим образом:

  • В центре верхней части листа ставится цифра «1».
  • В следующем ряду — две единицы слева и справа от центра (получается треугольная форма).
  • В каждой последующей строке ряд будет начинаться и заканчиваться числом «1». Внутренние члены вычисляются путём суммирования двух цифр над ним.

Запись в n строке и k столбце паскалевской фигуры обозначается (n k). Например, уникальная ненулевая запись в самой верхней строке (0 0) = 1.

Читать еще:  Как в excel сделать автозаполнение текста из другого файла?

С помощью этого конструкция предыдущего абзаца может быть записана следующим образом, образуя формулу треугольника Паскаля (n k) = (n — 1 k-1) + (n — 1 k), для любого неотрицательного целого числа n и любого целого числа k от 0 до n включительно. Трёхмерная версия называется пирамидой или тетраэдром, а общие — симплексами.

История открытия

Паскаль ввёл в действие многие ранее недостаточно проверенные способы использования чисел треугольника, и он подробно описал их в, пожалуй, самом раннем из известных математических трактатов, специально посвящённых этому вопросу, в труде об арифметике Traité du triangle (1665). За столетия до того обсуждение чисел возникло в контексте индийских исследований комбинаторики и биномиальных чисел, а у греков были работы по «фигурным числам».

Из более поздних источников видно, что биномиальные коэффициенты и аддитивная формула для их генерации были известны ещё до II века до нашей эры по работам Пингала. К сожалению, бо́льшая часть трудов была утеряна.

Варахамихира около 505 года дал чёткое описание аддитивной формулы, а более подробное объяснение того же правила было дано Халаюдхой (около 975 года).

Он также объяснил неясные ссылки на Меру-прастаара, лестницы у горы Меру, дав первое сохранившееся определение расположению этих чисел, представленных в виде треугольника.

Примерно в 850 году джайнский математик Махавира вывел другую формулу для биномиальных коэффициентов, используя умножение, эквивалентное современной формуле. В 1068 году Бхаттотпала во время своей исследовательской деятельности вычислил четыре столбца первых шестнадцати строк. Он был первым признанным математиком, который уравнял аддитивные и мультипликативные формулы для этих чисел.

Примерно в то же время персидский учёный Аль-Караджи (953–1029) написал книгу (на данный момент утраченную), в которой содержалось первое описание треугольника Паскаля. Позднее работа была переписана персидским поэтом, астрономом и математиком Омаром Хайямом (1048–1131). Таким образом, в Иране фигура упоминается как треугольник Хайяма.

Известно несколько теорем, связанных с этой темой, включая биномы. Хайям использовал метод нахождения n-x корней, основанный на биномиальном разложении и, следовательно, на одноимённых коэффициентах.

Треугольник был известен в Китае в начале XI века благодаря работе китайского математика Цзя Сианя (1010–1070).

В XIII веке Ян Хуэй (1238–1298) представил этот способ, и поэтому в Китае он до сих пор называется треугольником Ян Хуэя.

На западе биномиальные коэффициенты были рассчитаны Жерсонидом в начале XIV века, он использовал мультипликативную формулу. Петрус Апиан (1495–1552) опубликовал полный треугольник на обложке своей книги примерно в 1527 году. Это была первая печатная версия фигуры в Европе. Майкл Стифель представил эту тему как таблицу фигурных тел в 1544 году.

В Италии паскалевский треугольник зовут другим именем, в честь итальянского алгебраиста Никколо Фонтана Тарталья (1500–1577). Вообще, современное имя фигура приобрела благодаря Пьеру Раймонду до Монтрмору (1708), который назвал треугольник «Таблица Паскаля для сочетаний» (дословно: Таблица мистера Паскаля для комбинаций) и Абрахамом Муавром (1730).

Отличительные черты

Треугольник Паскаля и его свойства — тема довольно обширная. Главное, в нём содержится множество моделей чисел. Обзор следует начать с простого — ряды:

  • Сумма элементов одной строки в два раза больше суммы строки, предшествующей ей. Например, строка 0 (самая верхняя) имеет значение 1, строчка 1–2, а 2 имеет значение 4 и т. д. Это потому что каждый элемент в строке производит два элемента в следующем ряду: один слева и один справа. Сумма элементов строки n равна 2 n.
  • Принимая произведение элементов в каждой строке, последовательность продуктов можно связать с основанием натурального логарифма.
  • В треугольнике Паскаля через бесконечный ряд Нилаканты можно найти число Пи.
  • Значение строки, если каждая запись считается десятичным знаком (имеется в виду, что числа больше 9 переносятся соответственно), является степенью 11 (11n для строки n). Таким образом, в строке 2 ⟨1, 2, 1⟩ становится 112, равно как ⟨1, 5, 10, 10, 5, 1⟩ в строке пять становится (после переноса) 161, 051, что составляет 115. Это свойство объясняется установкой x = 10 в биномиальном разложении (x + 1) n и корректировкой значений в десятичной системе.
  • Некоторые числа в треугольнике Паскаля соотносятся с числами в треугольнике Лозанича.
  • Сумма квадратов элементов строки n равна среднему элементу строки 2 n. Например, 1 2 + 4 2 + 6 2 + 4 2 + 1 2 = 70.
  • В любой строчке n, где n является чётным, средний член за вычетом члена в двух точках слева равен каталонскому числу (n / 2 + 1).
  • В строчке р, где р представляет собой простое число, все члены в этой строке, за исключением 1s, являются кратными р.
  • Чётность. Для измерения нечётных терминов в строке n необходимо преобразовать n в двоичную форму. Пусть x будет числом 1s в двоичном представлении. Тогда количество нечётных членов будет 2 х. Эти числа являются значениями в последовательности Гулда.
  • Каждая запись в строке 2 n-1, n ≥ 0, является нечётной.
  • Полярность. Когда элементы строки треугольника Паскаля складываются и вычитаются вместе последовательно, каждая строка со средним числом, означающим строки с нечётным числом целых чисел, даёт 0 в качестве результата.
Читать еще:  Что такое сводная таблица в excel и как ее сделать?

Диагонали треугольника содержат фигурные числа симплексов. Например:

  • Идущие вдоль левого и правого краёв диагонали содержат только 1.
  • Рядом с рёбрами диагонали содержат натуральные числа по порядку.
  • Двигаясь внутрь, следующая пара содержит треугольные числа по порядку.
  • Следующая пара — тетраэдрические, а следующая пара — числа пятиугольника.

Существуют простые алгоритмы для вычисления всех элементов в строке или диагонали без вычисления других элементов или факториалов.

Общие свойства

Образец, полученный путём раскраски только нечётных чисел, очень похож на фрактал, называемый треугольником Серпинского. Это сходство становится всё более точным, так как рассматривается больше строк в пределе, когда число рядов приближается к бесконечности, получающийся в результате шаблон представляет собой фигуру, предполагающую фиксированный периметр. В целом числа могут быть окрашены по-разному в зависимости от того, являются ли они кратными 3, 4 и т. д.

В треугольной части сетки количество кратчайших путей от заданного до верхнего угла треугольника является соответствующей записью в паскалевском треугольнике. На треугольной игровой доске Плинко это распределение должно давать вероятности выигрыша различных призов. Если строки треугольника выровнены по левому краю, диагональные полосы суммируются с числами Фибоначчи.

Благодаря простому построению факториалами можно дать очень простое представление фигуры Паскаля в терминах экспоненциальной матрицы: треугольник — это экспонента матрицы, которая имеет последовательность 1, 2, 3, 4… на её субдиагонали, а все другие точки — 0.

Количество элементов симплексов фигуры можно использовать в качестве справочной таблицы для количества элементов (рёбра и углы) в многогранниках (треугольник, тетраэдр, квадрат и куб).

Шаблон, созданный элементарным клеточным автоматом с использованием правила 60, является в точности паскалевским треугольником с биномиальными коэффициентами, приведёнными по модулю 2.

Правило 102 также создаёт этот шаблон, когда завершающие нули опущены. Правило 90 создаёт тот же шаблон, но с пустой ячейкой, разделяющей каждую запись в строках.

Фигура может быть расширена до отрицательных номеров строк.

Секреты треугольника

Конечно, сейчас большинство расчётов для решения задач не в классе можно сделать с помощью онлайн-калькулятора. Как пользоваться треугольником Паскаля и для чего он нужен, обычно рассказывают в школьном курсе математики. Однако его применение может быть гораздо шире, чем принято думать.

Начать следует со скрытых последовательностей. Первые два столбца фигуры не слишком интересны — это только цифры и натуральные числа. Следующий столбец — треугольные числа. Можно думать о них, как о серии точек, необходимых для создания групп треугольников разных размеров.

Точно так же четвёртый столбец — это тетраэдрические числа или треугольные пирамидальные. Как следует из их названия, они представляют собой раскладку точек, необходимых для создания пирамид с треугольными основаниями.

Столбцы строят таким образом, чтобы описывать «симплексы», которые являются просто экстраполяциями идеи тетраэдра в произвольные измерения. Следующий столбец — это 5-симплексные числа, затем 6-симплексные числа и так далее.

Полномочия двойки

Если суммировать каждую строку, получатся степени основания 2 начиная с 2⁰ = 1. Если изобразить это в таблице, то получится следующее:

Презентация по теме «Комбинаторика в Excel»

Курс повышения квалификации за 340 рублей!

Эмоциональное выгорание педагогов. Профилактика и способы преодоления

Международные дистанционные олимпиады «Эрудит III»

Доступно для всех учеников
1-11 классов и дошкольников

Рекордно низкий оргвзнос

по разным предметам школьной программы (отдельные задания для дошкольников)

Идёт приём заявок

Описание презентации по отдельным слайдам:

Лавлинский М.В., LavlinskiMV@mail.ru Бенуа Мандельброт (1924 — 2010) Создатель фрактальной геометрии Фрактал — математическое множество, обладающее свойством самоподобия Не должно судить о ценности научного открытия, исходя из причин его совершения.

I. Комбинаторные формулы в Excel Задача 1. [Перестановки] Функция в Excel: ФАКТР(n) #. Сколькими способами можно развесить 10 цветных шаров на гирлянде? Решение: =ФАКТР(10) Ответ: 3628800

Задача 2. [Размещения] Функция в Excel: ПЕРЕСТ(n, k) #. Сколькими способами можно расставить на полке 3 выбранных книги из 5 книг, имеющихся в наличии? Решение: =ПЕРЕСТ(5;3) Ответ: 60

Задача 3. [Сочетания] Функция в Excel: ЧИСЛКОМБ(n, k) #. Сколькими способами можно выбрать 3 книги из 5, имеющихся в наличии? Решение: =ЧИСЛКОМБ(5;3) Ответ: 10

II. Треугольник Паскаля Задача 4. [ЧИСЛКОМБ] При помощи Excel построить треугольник Паскаля. Решение: Способ основан на том, что треугольник Паскаля состоит из Алгоритм: 1) Задать начальные значения параметров n и k

2) Использовать функцию вычисления числа сочетания, учесть случай n 0. =ЕСЛИ($A2>=B$1;ЧИСЛКОМБ($A2;B$1);0)

Задача 4. [сумма верхнего и левого элемента] При помощи Excel построить треугольник Паскаля. Решение: Способ основан на использование прямоугольной ориентации треугольника Паскаля Алгоритм: В 1-ой строке и 1-ом столбце установить единицы В остальных ячейках сумма верхнего и левого элемента =B1+A2

III. Треугольник Серпинского (1915 год) Если в треугольнике Паскаля все нечётные числа окрасить в чёрный цвет, а чётные — в белый, то образуется треугольник Серпинского.

Задача 5. [связь треугольников Паскаля и Серпинского] При помощи Excel построить треугольник Серпинского. Алгоритм: Достаточно выписывать не коэффициенты, а только их четность. 1) Установить размер ячеек, 7 на 7 пикселей 2) Стать в ячейку B2 3) Выделить область B2:DY129 — для этого нажать Ctrl + G и в поле ссылка написать B2:DY129. 4) В строке формул написать: =ЕСЛИ(ИЛИ(СТРОКА()=2;СТОЛБЕЦ()=2);1;ОСТАТ(A2+B1;2)) 5) Нажать Ctrl + Enter, чтобы заполнить подобной формулой всю выделенную область 6) Осуществить условное форматирование: для значений ячеек равных 1 указать цвет ячейки. Возвращает номер строки Возвращает номер столбца

Читать еще:  Как сделать штрихкод в excel?

Домашнее задание Лицей ИГУ, liguirk.ru * Конспект «15_[ДЗ]Комбинаторика в Excel+Подготовка к КР.doc» КР «Элементы комбинаторики» Для любознательных: М. И. Бинимелис Басса — Новый взгляд на мир. Фрактальная геометрия (Мир математики Т. 10) — 2014

Добавляйте авторские материалы и получите призы от Инфоурок

Еженедельный призовой фонд 100 000 Р

  • Лавлинский Максим Викторович
  • Написать
  • 993
  • 14.06.2017

Номер материала: ДБ-555371

Международные дистанционные олимпиады «Эрудит III»

Доступно для всех учеников
1-11 классов и дошкольников

Рекордно низкий оргвзнос

по разным предметам школьной программы (отдельные задания для дошкольников)

Идёт приём заявок

  • 14.06.2017
  • 221
  • 14.06.2017
  • 821
  • 14.06.2017
  • 561
  • 14.06.2017
  • 676
  • 14.06.2017
  • 5118
  • 14.06.2017
  • 467
  • 14.06.2017
  • 132

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение редакции может не совпадать с точкой зрения авторов.

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако редакция сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Двумерный симплекс, или «Треугольник Паскаля» в Pascal

Цели:

  • обобщение и систематизация знаний, умений и навыков по теме «Двумерный массив»;
  • повторение организации пользовательских функций и процедур;
  • развитие логического и алгоритмического мышления учащихся;
  • развитие познавательного интереса, творческих способностей.

Задачи:

  • повторить задание формулой и вывод элементов двумерного массива, элементов главной и побочной диагоналей квадратной матрицы;
  • совершенствование умений применения пользовательских функций и рекурсивных процедур для задания элементов матрицы;
  • развивать логическое и алгоритмическое мышление при работе с закономерностями, при создании программ на обработку элементов квадратной матрицы;
  • развивать межпредметные связи (программирование и математика);
  • повышать уровень математической и информационной культур;
  • прививать умение сотрудничать, оказывать помощь.
  • развивать интерес к изучению предмета, формировать научное мировоззрение.

Тип урока: обобщение и систематизация.

Оборудование: дидактический, раздаточный материалы, электронное пособие «Увлекательное программирование», ПК с языком программирования Free Pascal, электронная доска.

Формы и методы: фронтальная, групповая, индивидуальная; вербальный, наглядный, иллюстративный, практический, репродуктивный, проблемно-поисковый, исследовательский, закрепление, самостоятельная работа, беседа.

Ход урока

I. Орг.момент.

Проверить готовность учащихся к уроку, правильную организацию рабочего места. Отметить отсутствующих в журнале.

II. Формулировка темы урока.

Хочешь научиться плавать, – смело входи в воду!

Хочешь научиться программировать, – пиши программы.

На доске написано слово «SIMPLEX» (Приложение1)

Simplex

«Simplex» – (от английского слова simple [‘simpl], простой, несложный) – простейший n-мерный выпуклый многогранник с количеством вершин n+1).

0-симплекс – 1 вершина (точка);

1-симплекс (одномерный) – 2 вершины (отрезок);

2-симплекс (двумерный) – 3 вершины (треугольник);

3-симплекс (трехмерный) – 4 вершины (тетраэдр).

Какие слова из этих определений мы с вами встречали на уроках программирования? (одномерный, двумерный массив, треугольник, дать определение).

Pascal

Чей портрет Вы видите на экране? (Блез Паскаль)

Подсказка: Фамилия этого человека для нас с вами связана вплотную с информатикой: как с историей развития вычислительной техники, так и с программированием.

Какой вклад он внес в информатику? (он создал арифмометр, в честь его назван один из языков программирования)

Как вы думаете, какая тема нашего сегодняшнего урока? (Двумерный симплекс или «Треугольник Паскаля» в Pascal)

Да, это следующая, заключительная, тема в разделе «УВЛЕКАТЕЛЬНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ»

Оказывается, Блез Паскаль, выдающийся математик, физик, философ и писатель очень интересовался одной таблицей треугольного вида (на экране):

Первое упоминание о таком треугольнике появилось в 10 веке в Древней Индии, им интересовались многие математики, так в Иране его называют треугольником Хайяма. Нам он известен под названием «треугольник Паскаля». В 1563 году, уже после смерти автора, вышел «Трактат об арифметическом треугольнике» Блеза Паскаля.

Сегодня наш урок мы посвятим такому треугольнику.

III. Постановка целей урока

В ходе подготовки к ЕГЭ по информатике из курса программирования наибольшее затруднение вызывают:

  1. работа с матрицами;
  2. рекурсивные функции и процедуры.

Цели:

  • повторить, отработать задание и вывод элементов двумерного массива, заданных формулой;
  • применение пользовательских функций и рекурсивных подпрограмм для задания элементов матрицы.

Выполнение заданий, направленных на проверку знаний и умений по темам алгоритмизации и программирования позволит набрать 42,5% (чуть меньше половины) от максимального количества баллов.

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector